[자료구조] 구간 합

구간 합은 합 배열이라는 것을 이용하여 시간 복잡도를 줄이는 알고리즘이다.

코딩 테스트에서는 사용 빈도가 높다고 한다.

 

핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 한다.

배열 A가 있을 대 합 배열 S는 아래와 같이 정의할 수 있다.

S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i]    // A[0]부터 A[i]까지의 합

 

합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이다.

합 배열을 미리 구해 놓으면 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 줄어든다.

 

어떻게 줄어드나요?

--> O(N)에서 O(1)이라는 선형 시간으로 줄어들게 됩니다 :)

합 배열

 

A[i]부터 A[j]까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우,

최악의 경우를 생각해보자.

i가 0이고 j가 N인 경우일 것이고, 시간 복잡도는 O(N)이다.

 

합 배열은 아래와 같은 간단한 공식으로 표현 가능하다.

S[i] = S[i-1] + A[i]

 

위의 식을 활용하며 합 배열을 이용하여 쉽게 구현 가능하다.

아래는 i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식이다.

S[j] - S[i-1]    // i에서 j까지 구간 합

 

구간 합 공식을 아래의 그림으로 예시와 함께 설명하겠다.

구간 합 공식 유도

 

그림에서 알 수 있듯이 합 배열과 구간 합은 연관되어 있다.

A[0] + ... + A[5]에서 A[0] + A[1]을 제외하면(빼면)

구간 합 A[2] + ... + A[5] 가 나오기 때문에

결론 !!

S[5]에서 S[1]을 빼면 구간 합을 쉽게 구할 수 있다.

(=합 배열을 미리 구해 두면 구간 합은 한 번의 연산으로 구할 수 있다)

 

A[2] ~ A[5] 구간 합을 합 배열로 구하는 과정을 알아보자.

S[5] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5]

S[1] = A[0] + A[1]

S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + A[4] + A[5]

 

 

합 배열과 구간 합 공식을 잘 활용하여

시간 복잡도를 줄여보자.